华教网 考试资讯 可导函数的极值点一定是驻点吗

可导函数的极值点一定是驻点吗

不一定的,因为函数的极值点可能在驻点和不可导点处取得,而函数是可导函数,且在定义域内的任何一点可导的话,那么函数的极值点就只可能在驻点取得,所以不是必为驻点,只是有可能。

一、极值点的概述

若f(a)是函数f(x)的极值,则称a为函数f(x)取得极值时x轴对应的极值点。

极值点是函数图像的某段子区间内上极大值或者极小值点的横坐标。

极值点出现在函数的驻点(导数为0的点)或不可导点处(导函数不存在,也可以取得极值,此时驻点不存在)。

可导函数f(x)的极值点必定是它的驻点。但是反过来,函数的驻点却不一定是极值点,例如y=x^3,点(0,0)是它的驻点,却不是它的极值点。

极值点上f(x)的导数为零或不存在,且函数的单调性必然变化。

二、极值的充分条件

f在x0的某邻域上一阶可导,在x0处二阶可导,且f'(X0)=0,f"(x0)≠0

(1)若f"(x0)<0,则f在x0取得极大值

(2)若f"(x0)>0,则f在x0取得极小值

特别注意:

f'(x)无意义的点也要讨论。即可先求出f'(x)=0的根和f'(x)无意义的点,这些点都称为可疑点,再用定义去判断。例如:f(x)=▏x▏在x=0的导数是不可取的。

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